Кто знает почему у меня на сайте на форуме когда берешь слово в кавычки вместо кавычек выводятся qoute?

экранируются чем-то возможно

Самое главное когда редактирует сообщение то кавычки отображаются нормально как надо

ну qoute это и есть ковычки) некоторые символы можно выводить как раз таки таким способом.
Если оно у тебя выводится просто текстом, значит где-то что-то у тебя спец символы экранирует

Вывод текста в файле посмотри, возможно там не правильно настроено.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF...%D0%BB%D1%8B